03/11/2009
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RESIDUI QUADRATICI
Il resto della divisione di un quadrato esatto per un numero primo P si chiama RESIDUO QUADRATICO di P. Ad esempio 64 (8x8) diviso per 29 (numero primo) fa 2 con resto 6, allora potremo dire che 6 è un residuo quadratico di P.
Tutti i numeri primi P hanno (P-1)/2 residui quadratici e (P-1)/2 non residui quadratici. Riconsiderando il nostro numero primo 29, avremo:
Residui quadratici di 29: 1,4,5,6,7,9,13,16,20,22,23,24,25,28. (14 residui).
Non residui quadratici di 29: 2,3,8,10,11,12,14,15,17,18.19.21.26,27. (14 non residui).
Esiste un metodo per verificare se un numero intero qualsiasi sia residuo o non residuo quadratico di un numero primo P: si calcola il resto della divisione per P di questo numero elevato a (P-1)/2. Se questo resto è 1, allora il numero è residuo quadratico di P; se questo resto è (P-1), allora questo numero è un non residuo quadratico di P.
Ad esempio, il resto della divisione per 29 di 2 elevato alla 14 è 28, per cui 2 è non residuo quadratico di 29. Invece il resto della divisione per 29 di 5 elevato alla 14 è 1, per cui 5 è un residuo quadratico di 29.
Tutti i numeri primi si dividono in due grandi famiglie: quelli della forma 4n+1 e quelli della forma 4n+3.
Ad esempio 29 è della forma 4n+1 perchè 29 = 4x7 + 1, mentre 43 è della forma 4n+3 perchè 43 = 4x10 + 3. Orbene, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà anche un suo residuo quadratico. Invece, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora, se a è un suo residuo quadratico, (P-a) sarà un suo non residuo quadratico.
Per esempio 5 è un residuo quadratico di 29 (4x7 + 1), per cui (29-5) = 24 sarà anch'esso un residuo quadratico di 29.
Da questa proprietà deriva il fatto che, se P è un numero primo della forma 4n+1, allora è esprimibile in uno ed un solo modo come somma di due quadrati esatti, mentre, se P è un numero primo della forma 4n+3, allora non sarà mai esprimibile come somma di due quadrati esatti.
Una delle scoperte più affascinanti della Matematica è la legge della reciprocità quadratica. Essa afferma che le caratteristiche quadratiche di due numeri primi P e Q sono eguali tranne nel caso che i due numeri siano entrambi della forma 4n+3.
Ad esempio 13 è residuo quadratico di 29, allora anche 29 è residuo quadratico di 13, perchè sono entrambi della forma 4n+1. 19 è un non residuo quadratico di 43, allora 43 è un residuo quadratico di 19 perchè sono entrambe della forma 4n+3. 29 è un residuo quadratico di 83, allora 83 è un residuo quadratico di 29 perchè non sono entrambi della forma 4n+3.
"La Matematica è la regina delle scienze e la Teoria dei numeri è la regina delle Matematiche" (Carl Friedrich Gauss).
16:07
Scritto da : bardesane
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25/07/2009
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TERNE PITAGORICHE
TERNE PITAGORICHE
SE A,B,C SONO TRE NUMERI INTERI, ALLORA SI DICE CHE FORMANO UNA TERNA PITAGORICA SE:
A² + B² = C²
ESEMPI: 3² + 4² = 5² (25 = 25)
5² + 12² = 13² (169 = 169)
28² + 45² = 53² (2089 = 2089)
PER COSTRUIRE UNA QUALSIASI TERNA PITAGORICA A² + B² = C², BASTA APPLICARE LA FORMULA:
A = M² - N²
B = 2*M*N
C = M² + N²
CON M ED N NUMERI INTERI ED M > N.
AD ESEMPIO, CON M = 5 ED N = 2 SI OTTIENE:
A = 25 – 4 = 21
B = 2*5*2 = 20
C = 25 + 4 = 29
INFATTI:
21² + 20² = 441 + 400 = 841 = 29²
LA TERNA SARA’ :
21² + 20² = 29²
12:58
Scritto da : bardesane
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